Olym 7G. 사영 기하학
- 이론 및 기술
조화점열
비조화비 Cross Ratios
Definition 10.1. 한 직선 위에 네 점 $A, B, X, DY$가 주어졌을 때, $A, B, X, Y$의 비조화비(cross Ratio)를 다음과 같이 정의한다: $$(A, B; X, Y)=\frac{XA/XB}{YA/YB}$$ (단, 여기서 선분비는 방향을 가진다. 참고)
한 점에서 만나는 네 직선 $a, b, x, y$에 대해서도 $$(a, b; x, y)=\pm \frac{\sin \angle(x, a) / \sin \angle(x, b)}{\sin \angle(y, a) / \sin \angle(y, b)}$$
한 직선 위의 점 $A, B, X, Y$가 각각 한 점 $P$에서 만나는 네 직선 $a, b, x, y$ 위에 있을 때, $$P(A, B; X, Y)=(a, b; x, y)$$
Diagram.
여기서 $P(A, B; X, Y)$를 선다발(pencil of lines)이라고 한다.
비조화비의 부호
$(A, B; X, Y)>0 \iff \overline{AB}, \overline{XY}$가 만나지 않거나 한 선분이 다른 선분을 포함함.
$(a, b; x, y)>0 \iff a$와 $b$로 이루어진 각에 $x$와 $y$가 모두 포함되거나 모두 포함되지 않음.
Lemma 10.2. $P(A, B; X, Y)$가 pencil of lines이고 $A, B, X, Y$가 한 직선 위에 있으면, $$P(A, B; X, Y)=(A, B; X, Y)$$가 성립한다.
Proof
우리가 증명해야 하는 것은 $$\frac{\sin \angle(x, a) / \sin \angle(x, b)}{\sin \angle(y, a) / \sin \angle(y, b)}=\frac{XA/XB}{YA/YB}$$와 같다. 삼각형의 넓이 비를 이용하자.
\begin{align*} \frac{XA/XB}{YA/YB}&=\frac{\triangle XPA / \triangle XPB}{\triangle YPA / \triangle YPB} \\ &=\frac{PX \cdot PA \cdot \sin \angle(x, a) / PX \cdot PB \cdot \sin \angle(x, b)}{PY \cdot PA \cdot \sin \angle(y, a) / PY \cdot PB \cdot \sin \angle(y, a)} \\ &=\frac{\sin \angle(x, a) / \sin \angle(x, b)}{\sin \angle(y, a) / \sin \angle(y, b)} \end{align*} $\blacksquare$
위 Lemma는 $A, B, X, Y, P$가 한 원 위에 있을 때에도 적용할 수 있다.
Proposition 10.3. 아래 두 그림에서
$(A, B; X, Y) = P(A, B; X, Y)=P(A', B'; X', Y')=(A', B'; X', Y')$가 성립하는데, 이를 taking perspectivity at $P$라고 부르며, $$(A, B; X, Y) \overset{P}{=} (A', B'; X', Y')$$로 표기한다.
Extra.
Coming Soon!
Proposition 10.4. 임의의 네 점 $A, B, C, D$에 대하여 $$(A, B; X, Y)=(B, A; X, Y)^{-1}=(A, B; Y, X)^{-1}=(X, Y; A, B)$$ 가 성립한다.
한 직선 상에 서로 다른 세 점 $A, B, X$와 실수 $k$가 주어졌을 때, $(A, B; X, Y)=k$가 되는 점 $Y$가 유일하게 존재함을 보여라.
$(A, B; X, Y)=1 \iff$ $A$와 $B$가 일치하거나 $X$와 $Y$가 일치한다.
조화점열의 정의와 성질
Definition 10.5. $(A, B; X, Y)=-1$을 만족할 때, $(A, B; X, Y)$를 조화점열(harmonic bundle)이라고 하며,
사각형 $AXBY$가 원에 내접하면 이를 조화사각형(harmonic quadrilateral)이라 한다.
$(A, B; X, Y)=-1 \implies (A, B; Y, X)=(B, A; X, Y)=-1$이므로 점 $Y$를 $\overline{AB}$에 대한 점 $X$의 harmonic conjugate이라 정의한다.
Lemma 10.6.
Pole and Polar
La-Hire’s Theorem
7점 공선
원에 내접하는 사각형 $ABCD$에 대해 점들을 다음과 같이 정의하자.
$P_1$은 직선 $AD$와 $BC$의 교점, $P_2$는 점 $A$와 $B$에서 그은 접선의 교점, $P_4$는 선분 $AC$와 $BD$의 교점, $P_5$는 $(ADP_4)$와 $(BCP_4)$의 $P_4$가 아닌 교점, $P_7$은 점 $C$와 $D$에서 그은 접선의 교점. $X$는 직선 $AB$와 $CD$의 교점, $P_3$와 $P_6$는 각각 점 $X$에서 원에 그은 접선의 접점.
이때, 7개의 점 $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7$이 한 직선 위에 있다.
Diagram.
Proof
Diagram.
Step1. $P_1, P_2, P_4, P_7$가 일직선
$AACBBD$에서 파스칼 정리에 의해 $P_1, P_2, P_4$가 일직선, $ACCBDD$에서 파스칼 정리에 의해 $P_1, P_4, P_7$가 일직선.
이 두 사실에 의해 $P_1, P_2, P_4, P_7$가 일직선. $\blacksquare$
Step2. $P_1, P_4, P_5$가 일직선
$(ADP_4), (ABCD), (BCP_4)$에서 근축 $AD, BC, P_4P_5$는 한 점 $P_1$에서 만난다. 따라서 $P_1, P_4, P_5$가 일직선. $\blacksquare$
Step3. $(AP_2BP_5O)$가 공원점, $(CP_5ODP_7)$가 공원점
$$\angle AP_5B = \angle AP_5P_4 + \angle BP_5P_4 = \angle ADB + \angle ACB = 2\angle ADB = \angle AOB$$
또한, $AP_2, BP_2$가 접선이므로, $$\angle P_2AO = \angle P_2BO = 90^\circ$$ 따라서 $(AP_2BP_5O)$가 공원점. 같은 방법으로, $(CP_5ODP_7)$도 공원점. $\blacksquare$
Step4. $X, P_5, O$가 일직선
$(ABP_5O), (CDOP_5), (ABCD)$에서 근축 $AB, CD, OP_5$는 한 점 $X$에서 만난다. 따라서 $X, P_5, O$가 일직선. $\blacksquare$
Step5. $P_3, P_5, P_6$ 일직선
방멱 정리에 의해 $$XO \times XP_5 = XA \times XB = XP_3^2$$ 따라서 $\triangle XP_3O \sim \triangle P_3P_5O$
$XP_3$가 접선이므로 $$\angle OP_5P_3 = \angle OP_3X = 90^\circ$$ 같은 방법으로 $\angle OP_5P_6 = 90^\circ$도 보일 수 있다.
따라서 $\angle P_3P_5P_6 = 180^\circ$이므로, $P_3, P_5, P_6$는 일직선. $\blacksquare$
Step 1~5의 사실을 종합하면 $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7$이 한 직선 위에 있다는 것이 증명된다.
