Olym 2G. 원과 공원점
- 이론 및 기술
방멱 정리(PoP)
한 평면 위의 네 점 $A, B, C, D$에 대해 $P=AB \cap CD$이고, 점 $P$는 선분 $AB$와 $CD$에 모두 놓이거나 모두 놓이지 않는다. 이때, 네 점 $A, B, C, D$가 한 원 위에 놓일 필요충분조건은 $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$ 이다.
Diagram.
중심이 $O$, 반지름이 $R$인 원 $\omega$에 대한 점 $P$의 방멱값은 $$\operatorname{Pow}_\omega(P)=OP^2-R^2$$으로 정의한다.
여기서 방멱값은 점 $P$가 원 외부에 있을 때는 양수, 점 $P$가 원주 위에 있을 때는 $0$, 점 $P$가 원 내부에 있을 때는 음수로 정의된다.
또한, $\operatorname{Pow}_\omega(P)$를 $\operatorname{Pow}(P, \omega)$로 쓰기도 한다.
근축과 근심
두 원 $\omega_1$과 $\omega_2$에 대하여 $\operatorname{Pow}_{\omega_1}(P)=\operatorname{Pow}_{\omega_2}(P)$를 만족하는 점 $P$의 집합을 원 $\omega_1, \omega_2$에 대한 근축(radical axis)라 정의한다.
근축은 $O_1O_2$에 수직이다.
오일러 정리
수심의 방멱값
내접원
방접원
외접사각형
구점원
Theorem 2.n. 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 할 때, 다음 9개의 점은 한 원 위에 놓인다.
- 각 변의 중점 $M, N, K$
- 각 꼭짓점에서 내린 수선의 발 $D, E, F$
- 각 꼭짓점과 수심을 이은 선분의 중점 $P, Q, R$
육점원
팔점원
오일러 직선
Theorem 2.n. 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 무게중심을 $G$, 수심을 $H$라고 할 때, $O, G, H$는 한 직선 위에 놓이는데, 이 직선을 오일러 직선이라 한다.
아폴로니우스의 원
대표 Configurations
Butterfly Theorem
Butterfly Theorem의 일반화
