Olym 1G. 각 돌리기
- 이론 및 기술
각의 표현
방향각(Directed Angle)
Definition 1.1. 평행하지 않은 두 직선 $\ell, m$에 대해서 방향각 $\measuredangle(\ell, m)$은 $\ell$에서 $m$까지 반시계 방향으로 측정된 각도를 의미한다.
방향각 기호는 표준이 아니므로, 서술 시에는 정의를 해주는 것이 좋다.
그리고, 방향각에서 한 가지 더 주목해야 할 점은 모든 각에 $\bmod 180^\circ$를 취한다는 것이다. 즉,
$$-70^\circ=110^\circ=290^\circ=\ldots$$
라 할 수 있다.
Proposition 1.2. 임의의 두 직선 $\ell, m$에 대하여 $\measuredangle(\ell, m)=-\measuredangle(m, \ell)$이다.
위 명제를 통해 한 점에서 만나는 세 직선 $\ell, m, n$에 대하여 \(\measuredangle(\ell, m)+\measuredangle(m, n)=\measuredangle(\ell, n)\)임을 알 수 있다.
Definition 1.3. 세 점 $A, O, B$에 대하여 $$\measuredangle AOB \overset{\rm def}= \measuredangle(\overleftrightarrow{AO}, \overleftrightarrow{BO})$$로 정의한다.
Proposition 1.4. 한 평면 위 임의의 네 점 $A, B, C, P$에 대하여 다음 명제들이 성립한다.
- Anti-Reflexivity. $\measuredangle ABC = - \measuredangle CBA$.
- Angle Addition. $\measuredangle APB + \measuredangle BPC = \measuredangle APC$.
- Triangle Sum. $\measuredangle ABC + \measuredangle BCA + \measuredangle CAB = 0$.
- Parallel Lines. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$이면 $\measuredangle ABC + \measuredangle BCD =0$.
- Collinearity. $A, B, C$ 일직선 $\iff$ $\measuredangle PBA = \measuredangle PBC$.
- Perpendicular Lines. $\ell \perp m$이면 $\measuredangle (\ell, m) = \measuredangle (m, \ell) = 90^\circ$.
방향각은 $\bmod 180^\circ$를 취했으므로, $2\measuredangle ABC = 2\measuredangle XYZ$라고 해서 양변을 2로 나눈 $\measuredangle ABC = \measuredangle XYZ$가 성립하지는 않는다.
원에서 각 돌리기
원주각, 내대각
Theorem 1.5. 어떠한 세 점도 한 직선 위에 놓이지 않는 네 점 $A, B, X, Y$에 대하여 $A, B, X, Y$가 공원점일 필요충분조건은 다음과 같다. $$\measuredangle XAY = \measuredangle XBY$$
중심각
Theorem 1.6. 삼각형 $ABC$와 외심 $O$에 대하여 다음이 성립한다. $$\measuredangle AOB = 2 \measuredangle ACB$$
접현각
Theorem 1.7. 삼각형 $ABC$의 외심이 $O$일 때, 임의의 점 $P$에 대하여 다음 명제들이 서로 동치이다.
- $\overline{PA}$가 $(ABC)$에 접한다.
- $\overline{OA} \perp \overline{AP}$.
- $\measuredangle PAB = \measuredangle ACB$.
오심에서 각 돌리기
Theorem 1.8. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$라고 할 때, 다음이 성립한다.
- $\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$
- $\angle BOC = 2 \angle A$
- $\angle OBC = 90^\circ - \angle A$
수심에서 각 돌리기
Definition 1.9.삼각형 $ABC$의 세 꼭지점에서 마주보는 변에 내린 수선의 발을 각각 $D, E, F$라고 할 때, 삼각형 $DEF$는 삼각형 $ABC$의 수심삼각형(orthic triangle)이다.
삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라고 할 때, 다음이 성립한다.
- 수심의 duality: $A$는 삼각형 $HBC$의 수심이고, 비슷하게 $B, C$에 대해서도 성립한다.
- $(A, F, H, E), (B, D, H, F), (C, E, H, D), (A, B, D, E), (B, C, E, F), (C, A, F, D)$가 공원점
- 삼각형 $BHC, CHA, AHB$의 외접원은 서로 합동이다.
- $H$는 삼각형 $DEF$의 내심이다.
H-Reflections
Theorem 1.13. 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 외심을 $O$라 하자. 이때, $H$를 변 $BC$에 대해 대칭시킨 점을 $X$, $H$를 변 $BC$의 중점 $M$에 대해 대칭시킨 점을 $Y$라 하면, $X, Y$는 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 있고, $A, O, Y$는 일직선이다.
세르보어 정리
Theorem 1.14. 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 외심을 $H$라 하고, 변 $BC$의 중점을 $M$이라 할 때, $\overline{AH}=\overline{OM}$이 성립한다.
방심에서 각 돌리기
Theorem 1.10. 삼각형 $ABC$에서 방심을 $I_A, I_B, I_C$라고 할 때, 다음이 성립한다.
- $(A, B, I_A, I_B)$가 공원점이다.
- $(A, I_C, B, I)$가 공원점이고 $II_C$가 지름이다.
- $I_AI_BI_C$의 수심은 $I$이다.
멘션 정리
Theorem 1.11. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 각 $A$에 대한 방심을 $I_A$라 하자. 호 $BC$의 중점을 $M$이라 할 때, $\overline{MI}=\overline{MB}=\overline{MC}=\overline{MI_A}$가 성립한다.
외심과 수심
Example 1.12. 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 수심을 $H$라고 할 때, 다음을 보여라. $$\angle BAO = \angle CAH$$
직선이 이루는 각
Theorem 1.15. 평면 위의 임의의 네 직선 $a, b, c, d$에 대하여 다음이 성립한다. $$\measuredangle(a, b)+\measuredangle (c, d)=\measuredangle (a, d) + \measuredangle (c, b)$$
Reim’s Theorem
Theorem 1.16. 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $P$와 $Q$는 각각 직선 $AB, CD$ 위의 점이다. 이때, $A, B, P, Q$가 공원점일 필요충분조건은 $\overline{CD} \parallel \overline{PQ}$이다.
심슨 정리
Theorem 1.17. 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 임의의 점 $P$에 대하여 $P$에서 변 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $X, Y, Z$라 하면 세 점 $X, Y, Z$는 한 직선 위에 있다.
사인 정리
코사인 정리
Phantom Point
대표 Configurations
Three Tangents
Right Angles on Incircle Chord
Steiner-Lehmus Theorem
$60^\circ$ 삼각형
