2020 KMO 고등부 2차시험
Problem 1. FE Trap!
다음 조건을 만족하는 함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
모든 실수 $x, y$에 대하여 $x^2f(x)+yf(y^2)=f(x+y)f(x^2-xy+y^2)$
KMO 2020/1
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Problem 2. Trival Geo
예각삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 선분 $AH$를 지름으로 하는 원이 변 $AB, AC$와 만나는 점을 각각 $D, E$, 선분 $AH$와 $DE$의 교점을 $P$, 점 $H$를 지나고 직선 $AH$와 수직인 직선과 선분 $DM$의 교점을 $Q$라 할 때, 세 점 $P, Q, B$가 한 직선 위에 있음을 보여라.
KMO 2020/2
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Problem 3. Nice Bipartite Graph
대한수학고등학교에는 남학생 $n$명과 여학생 $m$명이 있다. 남학생 $B$와 서로 알고 지내는 여학생의 수를 $d(B)$라고 하고, 여학생 $G$와 서로 알고 지내는 남학생의 수를 $d(G)$라고 하자. 각 여학생은 서로 알고 지내는 남학생이 적어도 $1$명 이상 있다고 한다. 이때, $\frac{d(B)}{d(G)} \ge \frac{m}{n}$이 되는 서로 알고 지내는 남학생 $B$와 여학생 $G$가 존재함을 보여라.
KMO 2020/3
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Problem 4. Congruent Number Problem
다음 조건을 만족하는 서로소인 양의 정수의 순서쌍 $(m, n)$ 중 $(41, 12)$와 다른 것을 하나 찾아라.
$m^2-5n^2$과 $m^2+5n^2$은 모두 완전제곱수이다.
KMO 2020/4
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Problem 5. Tricky Sequence
어떤 양의 정수 $n$의 경우에는 다음 두 조건을 모두 만족하는 $n$개의 서로 다른 양의 정수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$이 존재한다.
$(1)$ $a_1=1, a_n=2000$
$(2)$ $2$ 이상 $n$ 이하인 모든 정수 $i$에 대하여 $a_i-a_{i-1}$은 $-3$ 또는 $5$이다.
이러한 양의 정수 $n$ 중 가장 큰 것을 구하여라.
KMO 2020/5
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Problem 6. Invariance of Segments
볼록오각형 $ABCDE$가 있다. 사각형 $ABDE$는 평행사변형이고 사각형 $BCDE$는 한 원에 내접한다. 점 $C$를 중심으로 하고 $D$를 지나는 원이 직선 $BD, DE$와 만나는 점 중 $D$가 아닌 점을 각각 $F, G$라 할 때, 세 점 $A, F, G$는 직선 $l$ 위에 있다. 직선 $l$과 선분 $BE$의 교점을 $H$라 할 때, 다음 조건을 만족하는 원 $\Omega$의 모임을 고려하자.
원 $\Omega$는 두 점 $A$와 $H$를 지나고 변 $AB, AE$와 각각 점 $A$가 아닌 다른 점에서 만난다.
이러한 원 $\Omega$와 변 $AB, AE$의 교점을 각각 $P(\neq A), Q(\neq A)$라 할때, $\overline{AP}+\overline{AQ}$의 값이 일정함을 보여라.
KMO 2020/6
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