2019 KMO 중등부 2차시험
Problem 1. Mixed Combo!
좌표평면에서 $x, y$ 좌표가 모두 정수인 점을 격자점이라 한다. 각 격자점은 한 가지 색으로 색칠되어 있고, 사용된 색의 수는 $5$ 이상이다. 두 격자점 $(x, y)$와 $(z, w)$에 대하여, $x-z$와 $y-w$가 모두 $3$의 배수이면 두 격자점은 같은 색이다. 서로 다른 다섯 개의 색을 임의로 골랐을 때, 이 중 정확히 세 개의 색의 격자점만을 지나는 직선이 존재함을 보여라.
KJMO 2019/1
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Problem 2. Quite Computational Geo
예각삼각형 $ABC$에서 변 $AC$ 위의 점 $D$는 $\overline{AD}=\overline{BC}$와 $\overline{AC}^2-\overline{AD}^2 = \overline{AC} \cdot \overline{AD}$를 만족하는 점이다. 꼭지각 $C$의 이등분선에 평행하고 점 $D$를 지나는 직선과 변 $AB$의 교점을 $E$라 하자. $\overline{AE}=\overline{CD}$이면 $\angle ADB = 3\angle BAC$ 임을 보여라.
KJMO 2019/2
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Problem 3. Primitive Roots in KJMO!
다음 조건을 만족하는 소수 $p, q (p \le q)$의 순서쌍 $(p, q)$를 모두 구하여라.
$2^n+3^n+4^n+ \cdots + (2pq-1)^n$이 $2pq$의 배수가 되는 양의 정수 $n$이 존재한다.
KMO 2019/3
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Problem 4. Sequence is Constant!
양의 정수의 수열 $\{a_1, a_2, \ldots \}$이 임의의 자연수 $n$에 대하여 다음을 만족한다.
$$(a_1+ \cdots + a_n) \left(\frac{1}{a_1}+ \cdots + \frac{1}{a_n} \right) \le n^2+2019$$
이때, 모든 $a_i$들은 같은 수임을 보여라.
KJMO 2019/4
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Problem 5. Quadric Residues in KJMO!
소수 $p$에 대하여 다음 조건을 만족하는 정수 $a,b,c,d$가 존재함을 보여라.
모든 정수 $n$에 대하여 $n^4+1-(n^2+an+b)(n^2+cn+d)$는 $p$의 배수이다.
KJMO 2019/5
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Problem 6. Surjective FE!
다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
$(1)$ 모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x+f(x)+xy)=2f(x)+xf(y)$이다.
$(2)$ 모든 실수 $z$에 대하여 $f(x)=z$인 $x$가 존재한다.
KJMO 2019/6
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Problem 7. Angle Chasing!
예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, $\angle ODC = 2 \angle DAO$이다. 삼각형 $ABD$의 외접원이 선분 $OA$, 직선 $OD$와 각각 점 $E(\ne A, O)$, 점 $F(\ne D)$에서 만난다. 직선 $DE$와 선분 $AC$의 교점을 $X$라 하고, 각 $BAF$의 이등분선과 선분 $BE$의 교점을 $Y$라 할 때, $\cfrac{\overline{AY}}{\overline{BY}}=\cfrac{\overline{EX}}{\overline{EO}}$임을 보여라.
KJMO 2019/7
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Problem 8. Hamiltonian Paths
두 개의 항공사 $A, B$와 $4$개 이상의 유한 개의 공항이 있다. 임의의 두 공항 간에는 $A$와 $B$ 중 정확히 한 항공사의 항공기가 양 방향으로 다닌다고 하자. 각 항공사는 자사의 항공기만 이용하여 모든 공항을 정확히 한 번씩만 지나는 경로로 구성된 세계 여행 상품을 만들려고 한다. 이때 항공사 $A, B$가 만들 수 있는 세계 여행 상품의 종류의 개수를 각각 $a, b$라 할 때, $a-b$는 $4$의 배수임을 보여라.
KJMO 2019/8
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