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2021 KMO 최종시험

Problem 1. Mixtillinear Circles

예각 삼각형 $ABC$의 내심 $I$를 지나고 직선 $AI$에 수직인 직선이 $AB, AC$와 만나는 점을 각각 $D, E$라 하자. 점 $D$를 지나고 $BI$와 평행한 직선과 $E$를 지나고 $CI$와 평행한 직선의 교점을 $F$라 하자. 직선 $FI$와 삼각형 $DEF$의 외접원의 교점을 $P(\neq F)$라 할 때, 삼각형 $DEF$의 외접원의 중심, 삼각형 $ABC$의 외접원의 중심, 점 $P$가 일직선 위에 있음을 보여라.

FKMO 2021/1

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Problem 2. Nice Pell Application

양의 정수 $k(\geq 8)$에 대하여 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $x, y$가 존재하면 그런 양의 정수의 순서쌍 $(x, y)$가 무한히 많음을 보여라.

    $(1)$ $\frac{x^2-2}{y}$와 $\frac{y^2-3}{x}$은 양의 정수이다.
    $(2)$ $\gcd(3x+\frac{2(y^2-3)}{x}, 2y+\frac{3(x^2-2)}{y})=k$

FKMO 2021/2

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Problem 3. Independent Set in Graph Theory

사람들의 모임 $P$가 있다. $P$에 속하는 서로 다른 두 사람 $A, B$에 대하여 $A$가 $B$를 알면 $B$도 $A$를 안다고 한다. $P$에 속하는 각 사람은 모임 $P$에 있는 사람 중 자기 자신을 제외하고 알고있는 사람의 수가 $2$ 이하이다. $P$의 부분집합 중 $k$명으로 이루어진 집합 $S$에 대하여, $S$에 속하는 어떤 두 사람도 서로 모르면 $S$를 $P$의 ‘$k$-독립적인 집합’이라 하자. $P$의 부분집합 $X_1, X_2, \ldots , X_{4041}$은 $2021$-독립적인 집합으로 서로 다를 필요는 없다. 다음 조건을 만족하는 $P$의 $2021$-독립적인 집합 $\{v_1, v_2, \ldots, v_{2021}\}$이 존재함을 보여라.

어떤 정수 $1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_{2021} \leq 4041$에 대하여 $v_1 \in X_{i_1}, v_2 \in X_{i_2}, \ldots, v_{2021} \in X_{i_{2021}}$이다.

FKMO 2021/3

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Problem 4. Club Activity

대한 고등학교에는 $n(\geq 2)$개의 동아리 $A_1, A_2, . . . , An$이 있다. 이때 다음 조건을 만족하는 $n−1$개의 모임 $B_1, B_2, \ldots , B_{n−1}$이 존재함을 보여라.
  1. $(1)$ $A_1\cup A_2\cup \cdots A_n=B_1\cup B_2\cup \cdots B_{n-1}$이다.
  2. $(2)$ $1 \le i < j \le n-1$에 대하여 $B_i \cap B_j = \emptyset$이고 $-1 \le \left\vert B_i \right\vert -\left\vert B_j \right\vert\le 1$이다. (단, $\left\vert X \right\vert$는 집합 $X$의 원소의 개수)
  3. $(3)$ $1\le i \le n-1$에 대하여 $B_i\subseteq A_k\cup A_j$인 $1\le k\le j\le n$이 존재한다.

FKMO 2021/4

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Problem 5. Two Tangent Circles

이등변 삼각형이 아닌 예각 삼각형 $ABC$의 내심은 $I$이고, 꼭지점 $A$에 대한 방접원 $\Omega$의 중심은 $O$이다. 점 $A, I$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $D, E$라 하자. 직선 $OE$와 $AD$의 교점을 $X$, 삼각형 $BCX$의 외심을 $P$라 하자. 점 $X$가 삼각형 $ABC$의 내접원 위에 있으면 삼각형 $BCP$의 외접원이 원 $\Omega$에 접함을 보여라.

FKMO 2021/5

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Problem 6. Invariance of Segments

다음 조건을 만족하는 함수 $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$ 은 실수 전체의 집합)

모든 실수 $x, y$에 대하여, $f(x^2-g(y))=g(x^2)-y$

FKMO 2021/6

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