2019 Internationl Mathematical Olympiad
Problem 1.
임의의 정수 $a, b$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$를 모두 구하여라. (단, $\mathbb{Z}$는 정수 전체 집합) $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$$
IMO 2019/1
Solution
조건을 만족하는 함수는 $f \equiv 0$과 임의의 정수 $c$에 대하여 $f(x) = 2x+c$임을 보이자.
주어진 식에 $a=0, b=n+1$을 대입하면
$$f(0)+2f(n+1)=f(f(n+1)) \quad \ldots (1)$$
을 얻을 수 있고, $a=1, b=n$을 대입하면
$$f(2)+2f(n)=f(f(n+1)) \quad \ldots (2)$$
을 얻을 수 있다. $(1)$과 $(2)$로부터
$$f(0)+2f(n+1)=f(2)+2f(n)$$
이므로 식을 정리하면
$$f(n+1)-f(n)=\frac{f(2)-f(0)}{2}$$
임을 알 수 있다.
즉, $f(n+1)-f(n)$가 일정하고, $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$이므로 $f(x)=mx+k$꼴로 나타낼 수 있다.
주어진 식에 $f(x)=mx+k$를 대입하면 $$2ma+k+2(ma+k)=m(m(a+b)+k)+k$$가 되고, 정리하면 $$(m-2) \left( m(a+b)+k \right)=0$$을 얻는다. 모든 정수 $a, b$에 대하여 위 식이 성립해야 하므로, $m=2$이거나 $m=k=0$이다.
따라서 조건을 만족하는 함수는 $f \equiv 0$과 임의의 정수 $c$에 대하여 $f(x)=2x+c$이고, 대입 시 성립한다.
Problem 2.
삼각형 $ABC$의 두 변 $BC, CA$ 위에 각각 점 $A_1, B_1$이 있다. 점 $P, Q$는 각각 선분 $AA_1$과 $BB_1$ 위의 점으로, $PQ$는 $AB$와 평행하다. 직선 $PB_1$ 위의 점 $P_1$은 $\angle PP_1C = \angle BAC$를 만족하고, $B_1$은 $P$와 $P_1$ 사이에 놓인다. 직선 $QA_1$ 위의 점 $Q_1$은 $\angle CQ_1Q = \angle CBA$를 만족하고, $A_1$은 $Q$와 $Q_1$ 사이에 놓인다. 이때, 네 점 $P, Q, P_1, Q_1$이 한 원 위에 있음을 보여라.
IMO 2019/2
Solution
직선 $AA_1$과 $BB_1$의 교점을 $R$, 삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Omega$라 하고, $AA_1$과 $\Omega$의 교점을 $A_0(\ne A)$, $BB_1$과 $\Omega$의 교점을 $B_0(\ne B)$라 하자.
Claim. $P, Q, A_0, B_0$가 한 원 위에 놓인다.
Proof. $\overline{PQ} \parallel \overline{AB}$이므로 Reim's Theorem에 의해 $P, Q, A_0, B_0$는 한 원 위에 놓인다. $\square$
Claim. $B_1, C, P_1, B_0$가 한 원 위에 놓인다.
Proof. $\angle B_1B_0C = \angle BAC = \angle B_1P_1C$이므로 $B_1, C, P_1, B_0$는 공원점이다. $\square$
Claim. $P_1$은 $\odot(PQA_0B_0)$ 위에 놓인다.
Proof. $\angle B_1P_1B_0 = \angle B_1CB_0 = \angle PA_0B_0$이므로 $P_1$은 $\odot(PQA_0B_0)$ 위에 놓인다. $\square$
같은 방법으로 $Q_1$도 $\odot(PQA_0B_0)$ 위에 놓임을 보일 수 있고, 따라서 $P, Q, P_1, Q_1$은 한 원 위에 놓이게 된다.
Problem 3.
IMO 2019/3
Solution
Problem 4.
IMO 2019/4
Solution
Problem 5.
IMO 2019/5
Solution
Problem 6.
IMO 2019/6
Solution
