2013 아시아태평양 수학올림피아드
Problem 1. Cute Areal Geometry
예각삼각형 $ABC$에 대하여, $A, B, C$에서 마주보는 변에 내린 수선의 발을 각각 $D, E, F$라 하고, 외심을 $O$라 하자. 선분 $OA, OF, OB, OD, OC, OE$에 의해 나누어진 삼각형 $ABC$의 여섯 개의 영역을 넓이 같은 두 영역을 짝지어 총 세 개의 쌍을 이룰 수 있음을 보여라.
APMO 2013/1
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Problem 2. Sqrt and Floor Divisibility
다음 식이 정수가 되는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라. (단, $[r]$은 $r$보다 크지 않은 최대 정수를 의미한다.)
$$\frac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$$
APMO 2013/2
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Problem 3. Sum and Floor Sequence
$2k$개의 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_k, b_1, b_2, \ldots, b_k$에 대하여 수열 $X_n$을 다음과 같이 정의하자: $$X_n=\sum_{i=1}^k [a_in+b_i] \ (n=1, 2, \ldots). $$ 수열 $X_n$이 등차수열을 이룬다면, $\sum_{i=1}^k a_i$가 정수임을 보여라. (단, $[r]$은 $r$보다 크지 않은 최대 정수를 의미한다.)
APMO 2013/3
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Problem 4. Disjoint Set of Integers
양의 정수 $a$와 $b$에 대하여, 정수로 이루어진 유한집합 $A$와 $B$가 다음 두 조건을 만족한다.
(i) $A$와 $B$의 교집합은 공집합이다.
(ii) 정수 $i$가 $A$ 또는 $B$에 속한다면, $i+a$가 $A$에 속하거나 $i-b$가 $B$에 속한다.
이때, 등식 $a\vert A \vert = b\vert B \vert$가 성립함을 보여라. (여기서, $\vert X \vert$는 집합 $X$의 원소의 개수를 의미한다.)
APMO 2013/4
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Problem 5. Cyclic Quad and Its Tangents
사각형 $ABCD$가 원 $\omega$에 내접한다. 반직선 $AC$ 위의 점 $P$에 대하여 $PB$와 $PD$가 원 $\omega$에 접한다. 점 $C$에서의 이 원에 대한 접선이 두 직선 $PD, AD$와 각각 점 $Q, R$에서 만난다. 직선 $AQ$와 원 $\omega$의 교점 중 $A$가 아닌 점을 $E$라 할 때, 세 점 $B, E, R$이 한 직선 위에 있음을 보여라.
APMO 2013/5
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