Olym 6A. 부등식의 정리
- 이론 및 기술
Majorization
Definition 6.1. 두 수열 $x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n$와 $y_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n$가 $$x_1+x_2+\cdots +x_n=y_1+y_2+\cdots +y_n$$와 $k=1, 2 \ldots, n-1$에 대하여 $$x_1+x_2+\cdots +x_k \ge y_1+y_2+\cdots +y_k$$를 만족할 때, $(x_n)$이 $(y_n)$을 majorize 한다고 말하며 $(x_n) \succ (y_n)$으로 표기한다.
Explanation
예를 들면 $$(5, 0, 0) \succ (3, 1, 1) \succ (2, 2, 1)$$이 성립한다.
뮤어헤드 부등식
Theorem 6.2. 음이 아닌 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$과 $(x_n) \succ (y_n)$인 두 수열에 대하여 다음 부등식이 성립한다. $$\sum_{\mathrm{sym}}a_1^{x_1}a_2^{x_2}\cdots a_n^{x_n} \ge \sum_{\mathrm{sym}}a_1^{y_1}a_2^{y_2}\cdots a_n^{y_n}$$
Proof
증명
슈르 부등식
동차화
헬더 부등식
젠센 부등식
카라마타 부등식
