Olym 5A. 평균 부등식과 코시 부등식
- 이론 및 기술
산술 기하 평균 부등식
Theorem 5.1. 음이 아닌 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$에 대하여 다음 부등식이 성립한다. $$\frac{a_1+a_2+ \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n}$$
Proof
증명
가중 산술 기하 평균 부등식
Theorem 5.2. 음이 아닌 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$와 양의 실수 $w_1, w_2, \ldots, w_n$에 대하여 $w=w_1+w_2+ \cdots w_n$이라 하면 다음 부등식이 성립한다. $$\frac{w_1a_1+w_2a_2+ \cdots w_na_n}{w} \ge \sqrt[w]{a_1^{w_1}a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}}$$
Proof
증명
멱평균 부등식
Theorem 5.3. 음이 아닌 실수 $a_1, a_2, \ldots a_n$와 $w_1+w_2+ \cdots +w_n=w$인 양의 실수 $w_1, w_2, \ldots, w_n$에 대하여 $$\mathcal{P}(r)=\begin{cases} (\frac{w_1a_1^r+w_2a_2^r+ \cdots +w_na_n^r}{w})^{1/r} \qquad &r \ne 0 \\\\ \sqrt[w]{a_1^{w_1}a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}} \qquad &r=0 \end{cases}$$로 정의하자. 이때, $r>s$이면 $\mathcal{P}(r) \ge \mathcal{P}(s)$가 성립하고, 등호는 $a_1=a_2=\cdots = a_n$일 때 성립한다.
Proof
증명
Consequence
$P(1) \ge P(0)$는 가중 산술 기하 평균 부등식과 일치하고, $P(1) \ge P(0) \ge P(-1), w_1=w_2=\cdots =w_n=\frac{1}{n}$이면 산술 기하 조화 평균 부등식이 된다.
평균 부등식의 활용
코시 부등식
Theorem 5.4. 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$에 대하여 다음 부등식이 성립한다. $$(a_1+a_2+\cdots +a_n)(b_1+b_2+\cdots + b_n) \ge (a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2$$
Proof
증명
코시 부등식의 응용
Proposition 5.5(Engel Form). 임의의 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$과 양의 실수 $b_1, b_2, \ldots, b_n$에 대하여 다음 부등식이 성립한다. $$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+ \cdots +\frac{a_n^2}{b_n}$$
Proposition 5.6(Nesbitt's Inequality).
Proof
증명
