Olym 11A. 함수방정식의 기초
- 연습문제
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다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x^2+yf(x))=xf(x+y)$
INMO 2015/3
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다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$
Argentina TST 2005/2
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다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
모든 실수 $x, y$에 대하여 $(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$
IZhO 2017/2
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다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{Q}_{>0} \rightarrow \mathbb{Q}_{>0}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{Q}_{>0}$은 양의 유리수 전체의 집합)
모든 $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$에 대하여 $f(x^2f(y)^2)=f(x)^2f(y)$
ISL 2018/A1
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다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{Z}$은 정수 전체의 집합)
$a+b+c=0$인 모든 정수 $a, b, c$에 대하여 $f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2$
CentroAmerican 2020/3
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다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
모든 실수 $x, y$에 대하여 $\left\vert f(x)-y \right\vert = \left\vert f(y)-x \right\vert$
KTOM 2021/2
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다음 조건을 만족하는 함수 $f, g \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
모든 실수 $x, y$에 대하여 $g(f(x)-y)=f(g(y))+x$
Poland 2nd Round 2012/4
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다음 조건을 만족하는 함수 $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)
모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left(f(x^2)-f(xy)+f(y^2)\right)$
British MO 2009
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